【これなら分かる最適化数学】第１章　数学的準備に登場する定理たち

作者: 金谷健一
出版社/メーカー: 共立出版
発売日: 2005/09/01
メディア: 単行本
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この本を読んでいる。易しい例題が豊富なので比較的スラスラ読めるが、忘れっぽい性格なので、登場する定理を中心に結果をまとめていく。

【定理1.1】
曲線f(x,y)=0の点(x,y)における法線ベクトルは $\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$ である。

【定理1.2】
点 $(\overline{x},\overline{y})$ における曲線f(x,y)=0の接線は次式で表される。
$\frac{\partial\overline{f}}{\partial x}(x-\overline{x})+\frac{\partial\overline{f}}{\partial y}(y-\overline{y})=0$
ベクトル表現を用いると次のようにかける。
$(\nabla\overline{f}, \vec{x}-\vec{\overline{x}})=0$
ただし、 $(\vec{x},\vec{y})$ はベクトルの内積を意味する。

【定理1.3】
局面f(x,y,z)=0の点(x,y,z)における法線ベクトルは $\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$ である。

【定理1.4】
点 $(\overline{x},\overline{y},\overline{z})$ における曲面f(x,y,z)=0の接平面は次式で表される。
$\frac{\partial\overline{f}}{\partial x}(x-\overline{x})+\frac{\partial\overline{f}}{\partial y}(y-\overline{y})+\frac{\partial\overline{f}}{\partial z}(z-\overline{z})=0$

【定理1.5】
$\nabla(\vec{a},\vec{x})=\vec{a}$

【定義 2次形式fの係数行列】
Aを対称行列とする。2次形式fは次のように表され、Aを2次形式fの係数行列と呼ぶ。
$f=(\vec{x},A\vec{x})$
2次形式の係数行列は常に対称行列と約束する。

【定理1.6】
2次形式の微分。
$\nabla(\vec{x},A\vec{x})=2A\vec{x}$

【定理1.7】
任意のベクトルx,yと、任意の行列Aに対して次が成り立つ。
$(A\vec{x},\vec{y})=(\vec{x},A^{T}\vec{y})$

【定理1.8】
$n\times n$ 対称行列はn個の固有値 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ をもつ。それらは全て実数であり、対応する実数の固有ベクトルからなる正規直交系 $\{\vec{u_{1}},\cdots,\vec{u_{n}}\}$ が存在する。

【定義　対称行列の対角化】
対称行列Aの固有値に対する固有ベクトルの正規直交系 $\vec{u_1},\vec{u_2},\cdots,\vec{u_n}$ を用いて
$U=(\vec{u_1},\vec{u_2},\cdots,\vec{u_n})$
と置く(Uを直交行列と呼ぶ)。
このとき、 $U^{T}U=I$ (単位行列)。
また、次が成り立つ。
$U^{T}AU=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_{1} & & &\\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ldots & \\ & & & \lambda_{n}\\ \end{array} \right)$
これから次が導かれる。
$A=U\left(\begin{array}{cccc}\lambda_{1} & & &\\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ldots & \\ & & & \lambda_{n}\\ \end{array} \right)U^{T}$
対称行列Aをこのように分解することをスペクトル分解（または固有値分解）と呼ぶ。

【定理1.9】
任意の2次形式 $(\vec{x},A\vec{x})$ は変数変換によって2乗和の形の標準形に直せる。このときの係数は係数行列Aの固有値であり、変数変換の行列は単位固有ベクトルの正規直交系から得られる。すなわち、次が成り立つ。
$\vec{x^{'}}=U^{T}\vec{x}$ 、
$(\vec{x},A\vec{x})=(\vec{x^{'}},U^{T}AU\vec{x^{'}})=(\vec{x^{'}},\left(\begin{array}{cccc}\lambda_{1} & & &\\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ldots & \\ & & & \lambda_{n}\\ \end{array} \right)\vec{x^{'}})=\begin{eqnarray}\sum_{k}\lambda_k x_{k}^{'}^{2}\end{eqnarray}$